下学期 5.6平面向量的数量积及运算律（精选2篇）
下学期 5.6平面向量的数量积及运算律（精选2篇）
下学期 5.6平面向量的数量积及运算律 篇1
（第二课时）
一、教学目标
1.掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2.掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.
三、教学具准备
投影仪
四、教学过程
1.设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2.探索研究
（1）师：什么叫做两个向量的数量积？
生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）
师：向量的数量积有哪些性质？
生：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
师：向量的数量积满足哪些运算律？
生（由学生验证得出）
交换律：
分配律：
师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）
生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
（2）例题分析
【例1】求证：
（1）
（2）
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。
证：
注： （其中 、 为向量）
答：一般不成立。
【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .
解：∵
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.
【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直.
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时， 与 互相垂直.
3.演练反馈（投影）
（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角.
（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，
①求 的值；
②求证： 与 垂直.
（3）证明：直径所对的圆周角为直角.
参考答案：
（1）
（2）解答：①由
当 时 最小；
②∵
∴ 与 垂直.
（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）
则
∵ ，
∴ 即 圆周角
4.总结提炼
（l）
（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立.
（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件.
（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律.
五、板书设计
课题：
1.数量积性质
2.数量积运算律
例题
1
2
3
演练反馈
总结提炼
下学期 5.6平面向量的数量积及运算律 篇2
（第一课时）
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用
教学难点 平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解.
三、教学具准备
直尺，投影仪
四、教学过程
1.设置情境
师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？
表示力 的方向与位移 的方向的夹角.
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、 ，来规定 的含义。
2.探索研究
（l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗？
① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 .
（2）下面给出数量积定义：
师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即
并规定
师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别.
生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量.
师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？
生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：
所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影.
师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积.
注意：1°投影也是一个数量，不是向量。
2°当q为锐角时投影为正值；
当q为钝角时投影为负值；
当q为直角时投影为0；
当q =0°时投影为 |b|；
当q =180°时投影为 -|b|。
向量的数量积的几何意义：
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
（3）下面讨论数量积的性质：
（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
①
②
③当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。
特别地
④
⑤
3.演练反馈（投影）
（通过练习熟练掌握性质）
判断下列各题是否正确
（1）若 ，则对任意向量 ，有 （ ）
（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （ ）
（3）若 ，且 ，则 （ ）
（4）若 ，则 或 （ ）
（5）对任意向量 有 （ ）
（6）若 ，且 ，则 （ ）
参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.
4.总结提炼
（l）向量的数量的物理模型是力的做功.
（2） 的结果是个实数（标量）
（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。
（4）二向量夹角范围 .
（5）五条属性要掌握.
五、板书设计
课题
1.“功”的抽象
2.数量积的定义
3.（5）条性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4.演练反馈
5.总结提炼